质数分布、晶体衍射和分形几何——竟然被一个小实验联系到了一块儿

导语

质数分布间隔的规律是什么？这是个至今仍未解决的问题。在本文介绍的研究中，晶体粒子以质数序列排布，在衍射实验中呈现出类似分形的结构，这为揭开质数之谜提带来来新的灵感。

1.质数序列的晶体衍射

当晶体学家将质数当作一个粒子系统，由此产生的衍射图样为现有的数论猜想创造了一个新的视角。

大约一年前，理论化学家Salvatore Torquato与即将从普林斯顿大学毕业的研究生、数论学家Matthew de Courcy-Ireland会面，介绍他关于质数的研究。质数，也就是那些只能被1和自己整除的正整数。

作为普林斯顿大学的化学教授，Torquato 的研究领域是物理系统结构中的模式（pattern），例如晶体、胶体中的粒子排布规律。他的一项重要成果是，做了大量用扁球状糖果填充瓶子的模拟实验，证明了球体不能最大化地填满密闭空间。在他的领域，常常使用X射线衍射来推断物质结构。

当X射线照射液体或玻璃时，无序的分子会将X射线散射到各个方向，不会形成明显的衍射图样。但是当X射线照射晶体时，晶体中有序排列的原子会同步地反射光波，波峰在某些位置叠加，发生相长干涉，产生周期性的亮斑。这些亮斑所在的位置被称为 "布拉格尖峰" 。这个名字是为了纪念晶体学家布拉格父子。他们早在1910年代就深入研究衍射现象，以揭示散射物体的组织结构。

Torquato 一年前就凭直觉做了质数序列的衍射实验。为了强调质数分布中难以捉摸的顺序，他和他的学生Ge Zhang将质数建模为一维粒子序列，实质是可以散射光的小球体。

质数序列衍射实验出现了分形特征

在计算机实验中，他们用一百亿左右的，比如从10,000,000,019开始的质数序列做光学衍射。(他们发现这是一个“黄金区间”，在此区间内的质数数量足够多，对应的粒子密度足够大，产生的信号足够强，可以得到明显的衍射图样。）

Torquato 做实验时并不清楚会出现什么样的衍射图样，或者是否会有衍射图样。质数，所有自然数不可分割的组成部分，无规律地掠过数轴，像打水漂时石子掠过水面跳跃，激荡起深刻的问题。

de Courcy-Ireland表示， 在很多方面，质数与随机数字的序列都很难区分。虽然在过去的几个世纪里，数学家们已经发现了许多关于质数分布的规律，但仍然很难找到任何清晰的模式，所以我们只好把质数的分布看作是随机的。

从左到右：Salvatore Torquato，Ge Zhang and Matthew de Courcy-Ireland 写作了将质数序列看作产生衍射图样的粒子的新论文。

但是在一篇由Torquato，Zhang和计算化学家Fausto Martelli发表于2月份的《Journal of Physics A》杂志上，以及另外两篇de Courcy-Ireland参与但尚未进行同行评议的新论文中，科研人员发现，质数序列，并不像液体那样无序，而更像晶体，会产生衍射图案。

微软新英格兰研究院和麻省理工学院的数学家Henry Cohn表示，“这项研究的美妙之处在于，让我们（数学工作者）了解到晶体学家对质数的看法。” 

Torquato 说，该研究产生的衍射图样与之前所见的任何衍射图样都不太一样，这意味着以质数序列排布的物理系统（晶体），是一类全新的结构 。普林斯顿的研究人员称这种类似分形的图样为 "effective limit-periodicity"（显著的极限周期性）。

质数通常可以用筛分的方法获得，例如对于100以内的正整数，依次过滤掉2, 3, 5, 7这四个质数的倍数。因此，在数轴上，除了2以外的所有质数都在奇数位置上，它们的间隔为2, 4, 6等2的倍数，且越往后，质数序列的间隔越大。衍射图样包含一系列周期性排列的明亮波峰，反映2这一最普遍的质数间距。其中最明亮的峰对应数轴上间隔为6的质数，以固定的间隔穿插在不那么明亮的峰之间。这些更暗的峰对应间隔更远的质数，如此层层嵌套，形成无限稠密的布拉格尖峰。



如此高密度的“布拉格尖峰”，人们曾经在“准晶体”衍射实验中看到过。准晶体是20世纪80年代被发现的一种介于晶体和非晶体之间的材料，它的原子排列具有一定的旋转对称性，却没有平移对称性。但是以质数间隔排列的粒子结构产生的衍射图像，峰与峰之间是一种分形结构。Torquato 认为，以质数间隔排列粒子，就像准晶，其实是一种全新的物质状态，但它的性质又和准晶体不同。

许多接受采访的数论学家都表示，这个研究团队的发现还不足以引发数理领域的进步。这项研究涉及的数学，几乎上都不是新的。事实上，当Torquato去年春天向de Courcy-Ireland展示他的计划和公式的时候，这位年轻的数学家很快就看到，质数衍射图样实验可以被现有的数论猜想所解释。

一年前，这两人在新泽西州普林斯顿大学高等研究院第一次会面，Torquato当时在那里休假。作为化学家的Torquato告诉作为数学家的de Courcy-Ireland，他可以使用公式来预测“孪生质数”的频率（孪生质数是一对间隔为2的质数，如3和5，17和19）。de Courcy-Ireland 认为Torquato的方法实际上也可以预测所有其他间隔的质数对。

布拉格尖峰的公式在数学上等价于Hardy-Littlewood 的质数k元组猜想，这是英国数学家哈代（Godfrey Hardy）和李特尔伍德（John Littlewood）在1923年发表的猜想：质数元组是存在的。这个猜想为具有固定间隔的质数组的出现频率做出了精确估计。

如前所述，质数通过依次筛分掉2, 3, 5, 7等质数的倍数获得。因此，质数首先是间隔为2的奇数，相应地，“孪生素数”为最小也最普遍的质数组。而由3个连续奇数组成的质数组只有{3，5，7}，在此之后任意三个连续的奇数中，始终会有一个数可被3整除，如{7，9，11}。

Hardy-Littlewood猜想进一步明确了所有可能的质数元组在数轴上出现的频率。即使是最简单的 Hardy-Littlewood情形——“孪生质数猜想”，在经历了现代科学爆发式的进步之后，仍然未被证明。专家们认为质数衍射实质上只是重新阐释了Hardy-Littlewood猜想，所以它不能证明Hardy-Littlewood猜想，或者说不能证明黎曼猜想。黎曼猜想于1859年提出，将质数分布问题与黎曼Zeta函数的零点问题联系在一起。

2.质数与非周期性序列

然而，这一发现在“非周期性序列（aperiodic order）”这个年轻的研究领域产生回响。“非周期性 序列”实质上是对非重复模式的研究，是晶体学、动力系统、谐波分析和离散几何的交叉之处，这个领域在准晶被发现之后成长起来。史密斯学院的数学晶体学家Marjorie Senechal表示，最初为了解晶体而发展的技术，随着准晶的发现而变得非常多样化，"人们开始意识到，他们突然必须明白很多不仅仅是简单周期性的衍射。非周期性已经成为一个完整的领域，将非周期性与数论结合起来是非常激动人心的。”

质数模式类似上世纪50年代前提出的非周期性序列，也被称作极限周期性。“然而出现了令人惊讶的扭曲，”科恩说。在真正的极限周期性系统中，周期性间隔嵌入无限层级的结构中，因此在任何间隔中，系统包含了仅在较大间隔重复的部分模式。其中一个例子是1990年代澳大利亚非专业数学家Joan Taylor发现的奇异、多重的镶嵌棋盘花纹，被称作Taylor-Socolar镶嵌瓷砖。

2010年，杜克大学的 Joshua Socolar对其进行细节分析。计算机实验的研究表明，物质的极限周期性应该能够在自然界中形成，计算也表明这种系统可能具有不寻常的特性，当时没有人将它与质数联系在一起。在Taylor-Socolar镶嵌瓷砖系统中，质数间隔的同步性仅仅是统计意义上的，显著的极限周期性是一种全新秩序。

de Courcy-Ireland想更好地理解质数中显著的极限-周期性出现的“黄金尺度”（Goldilocks scale）。1976年，哥伦比亚大学的Patrick Gallagher就证明了，在短区间内质数间隔是随机的，在较长区间内质数间隔才有一些规律。

在新的衍射研究中，de Courcy-Ireland和他的合作者分析了一种名为“序列度量”的变量，它控制着“极限-周期性”模式的出现。“在看到数量增长之前，你就可以确定间隔会有多大”。他很惊奇地发现，相同的间隔长度也出现在另一个名为“Maier 定理”的质数规律中。但这一思路是否会在别处发挥作用，现在还言之尚早。 

布里斯托大学的Jonathan Keating认为，质数衍射图样的主要优点在于，它引发不同思维方式的连接。对此，蒙特利尔大学的数论学家Andrew Granville则认为，Torquato及其团队的研究不过是自命不凡，仅仅是已有想法的重复罢了。

Torquato不特别关心数论学家如何评价他的研究，他找到了窥探质数规律的方法，“事实上，我认为这项研究非常惊艳，直击人心。”

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